Как сделать многогранник без клея. Как сделать из бумаги многогранник

Бумажные поделки - это не только различные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальными получаются объемные модели фигур (фото 1). Например, можно сконструировать Рассмотрим некоторые способы его выполнения, используя схемы и фотографии.

История фигур

Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена процветания Древнего Рима и Греции. Тогда было принято связывать технические аспекты с философскими. Поэтому, согласно учению Платона (один из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящих из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует одну стихию. Фигуры из треугольников - октаэдр, икосаэдр и тетраэдр - ассоциируются с воздухом, водой и огнем соответственно и могут преобразовываться друг в друга благодаря однотипности граней, каждая из которых имеет три вершины. Землю же символизирует гексаэдр из квадратов. А додекаэдр, благодаря особенным пятиугольным граням, выполняет декоративную роль и является прототипом гармонии и мира.

Также известно, что один из греческих математиков, Евклид, доказал в своем учении «Начала» неповторимость упомянутых платоновых тел и их свойство «вписываться» в сферу (фото 2). Сделан показанный из бумаги многогранник путем сворачивания сомкнутых между собой двадцати равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигуры. Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра.

Делаем двадцатигранник

Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга различным количеством граней и их формой. Кроме этого, некоторые модели могут быть сложены из цельного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие - только путем сбора из нескольких модулей. Классическими считаются правильные многогранники. Из бумаги их делают, придерживаясь главного правила симметрии - наличия в шаблоне полностью одинаковых граней. Существует пять основных видов таких фигур. В таблице приведены сведения об их названиях, количестве и формах граней:

Разнообразие фигур

На основе пяти приведенных видов, используя умение и фантазию, умельцы легко конструируют множество различных моделей из бумаги. Многогранник может совершенно отличаться от вышеописанных пяти фигур, формируясь одновременно из различных по форме граней, например из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если одну или несколько граней пропустить, то получится открытая фигура, просматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезаемые из достаточно плотной, хорошо держащей форму, бумаги. Делают и особенные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей. Разберем способы, как сконструировать очень красивую фигуру на примере додекаэдра (фото 3).

Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый способ

Такую фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая из его вершин в своем основании является Поэтому делают двумя способами такие многогранники из бумаги. Схемы для изготовления будут несколько отличаться друг от друга. В первом случае это единая деталь (фото 4), в результате сворачивания которой получается готовое изделие. Кроме основных граней, на чертеже присутствуют соединительные части для склеивания, благодаря которым фигура смыкается в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать отдельно несколько шаблонов. Рассмотрим процесс работы подробнее.

Как сделать многогранник из бумаги: второй способ

Изготовьте два главных шаблона (фото 5):

- Первый. Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.

- Второй. Этот шаблон - пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням.

Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.

Много интересного можно найти для себя в тех сферах науки, которые, казалось бы, никогда не пригодятся в привычной жизни простого обывателя. Например, геометрия, о которой большинство забывают, только лишь переступив порог школы. Но странным образом малознакомые области науки становятся очень увлекательными, если с ними столкнуться поближе. Вот и геометрическая развертка многогранника - совершенно ненужная в повседневной жизни вещь - может стать началом увлекательного творчества, способного захватить и детей, и взрослых.

Красивая геометрия

Украшать интерьер дома, создавая своими руками необычные, стильные вещи, - это увлекательное творчество. Смастерить самостоятельно из плотной бумаги различные многогранники - значит создать уникальные вещи, которые могут стать просто занятием на день или два, а могут превратиться в дизайнерские интерьерные украшения. К тому же с развитием техники, способной к пространственному моделированию всевозможных вещей, стало возможным создание стильных и современных 3D-моделей. Есть мастера, которые при помощи простроения разверток по законам геометрии делают из бумаги макеты животных и различных предметов. Но это достаточно сложное математическое и чертежное творчество. Начать работать в подобной технике поможет

Разные грани - разные формы

Многогранники - это особая сфера геометрии. Они бывают простые - к примеру кубики, которыми дети играют с раннего возраста, - а бывают очень и очень сложные. Простроение развертки многогранников для склеивания считается достаточно сложной областью конструирования и творчества: нужно не только знать основы черчения, геометрические особенности пространства, но и иметь пространственное воображение, позволяющее оценить правильность решения еще на стадии проектирования. Но и одной фантазией не обойтись. Чтобы сделать развертки не достаточно просто представить, как в конце концов должна выглядеть работа. Нужно уметь правильно ее просчитать, сконструировать, а также грамотно начертить.

Самый первый многогранник - кубик

Скорее всего, каждый человек, посещавший школу, еще в начальных классах сталкивался на уроках труда с работой, результатом которой должен был стать бумажный кубик. Чаще всего учительница раздавала заготовки - развертки многогранника куба на плотной бумаге со специальными кармашками, предназначенными для склеивания граней модели в единое целое. Такой работой ученики начальной школы могли гордиться, ведь при помощи бумаги, ножниц, клея и своих усилий получалась интересная поделка - трехмерный куб.

Занимательные грани

Удивительно, но многие знания об окружающем мире становятся интересны не на школьной скамье, а лишь тогда, когда можно найти в них нечто увлекательное, способное дать что-то новое, необычное в привычной жизни. Не многие взрослые помнят, что те же многогранники делятся на огромное количество видов и подвидов. Например, есть так называемые платоновы тела - выпуклые многогранники, состоящие только лишь из Таких тел всего пять: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), икосаэдр, додекаэдр. Они представляют собой выпуклые фигуры без впадин. Звездчатые многогранники состоят из этих основных фигур в различных конфигурациях. Поэтому-то развертка многогранника простого позволяет нарисовать, вернее начерить, а затем и склеить из бумаги звездчатый многогранник.

Правильные и неправильные звездчатые многогранники

Складывая платоновые тела между собой в определенном порядке, вы можете построить немало звездчатых многоранников - красивых, сложных, многокомпонентных. Но они будут называться "неправильными звездчатыми многогранниками". Правильных звездчатых многогранников всего четыре: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Развертки многогранников для склеивания не будут простыми чертежами. Они, как и фигуры, будут состоять из нескольких компонентов. Так, например, малый звездчатый додекаэдр строится из 12 пятиугольных равнобочных пирамид, сложенных по типу правильного додекаэдра. То есть для начала придется начертить и склеить 12 одинаковых штук правильных пирамид, состоящих из 5 равных граней. И только затем из них можно сложить звездчатый многогранник. Развертка самого малого звездчатого додекаэра - сложное и практически невыполнимое задание. Чтобы ее простроить, нужно суметь на одной плоскости уместить соединенные друг с другом 13 разверток разных геометрических объемных тел.

Красота в простоте

Все объемные тела, построенные по законам геометрии, будут смотреться завораживающе, в том числе и звездчатый многогранник. Развертка каждого элемента любого подобного тела должна быть выполнена максимально точно. И даже самые простые объемные многогранники, начиная с платонового тетраэдра, - удивительная красота гармонии мироздания и труда человека, воплощенного в бумажной модели. Вот, допустим, самый многогранный из платоновых выпуклых многогранников - додекаэдр. В этой геометрической фигуре 12 абсолютно одинаковых граней, 30 ребер и 12 вершин.Чтобы сделать развертки правильных многогранников для склеивания, нужно приложить максимум аккуратности и внимательности. И чем крупнее фигура по размерам, тем точнее должны быть все измерения.

Как построить развертку самостоятельно?

Пожалуй, помимо склеивания многогранника - хоть звездчатого, хоть платоновского, - еще интереснее построить развертку будущей модели собственными силами, оценив свои способности к черчению, конструированию и пространственному вообжению. Простые платоновсткие тела состоят из простых многоугольников, которые в одной фигуре идентичны друг другу. Так, тетраэдр - это три равнобедренных треугольника. Прежде чем простроить развертку, нужно представить себе, как правильно сложить плоские многоугольники между собой, чтобы получить многогранник. Треугольники можно соединить между собой по ребрам, прочертив один рядом с другим. Для склеивания развертки многогранников схемы должны быть снабжены специальными кармашками или клапанами, которые позволят соединить все части в единое целое. Тетраэдр - простейшая фигура из четырех граней. Октаэдр можно представить как двойной тетраэдр, у него восемь гарней - равнобедренных треугольников. Гексаэдром называют знакомый всем с детства куб. Икосаэдр представляет собой соединение 20 равнобедренных треугольников в правильный выпуклый многогранник. Додекаэдр - это объемная фигура из 12 граней, каждая из которых представляет собой правильный пятиугольник.

Тонкости работы

Построить разверту многогранника и склеить из нее бумажную модель - дело тонкое. Развертку, конечно, можно взять уже готовую. А можно, приложив услилия, построить ее самостоятельно. Но чтобы сделать полноценную объемную модель многогранника, нужно ее собрать. Многогранник лучше всего делать из плотной бумаги, которая хорошо держит форму и не коробится от клея. Все линии, которые необходимо согнуть, лучше всего предварительно продавить, используя, например, непишущую шариковую ручку или обратную сторону лезвия ножа. Этот нюанс поможет сложить модель аккуратнее, с соблюдением размеров и направлений ребер.

Если сделать разные многогранники из цветной бумаги, то такие модели можно использовать в качестве декоративных элементов, украшающих помещение - детскую комнату, кабинет, гостиную. Кстати, многогранники можно назвать уникальной находкой декораторов. Современные материалы позволяют на основе геометрических фигур создавать оригинальные предметы интерьера.

бумажных моделей

При построении бумажных моделей многогранников рекомендую действовать следующим образом:

1. Изготовьте чертежи граней. Если вы хотите построить модель среднего размера, можно просто напечатать чертежи, приведенные на странице, посвященной соответствующему многограннику. Если же вы хотите построить модель другого размера, вы должны выполнить чертеж самостоятельно. Будьте очень аккуратны, от точности чертежа зависит, насколько хорошо подойдут детали.

2. Изготовьте по чертежу трафарет. Для этого наложите чертеж на лист плотного картона и проколите оба листа в вершинах многоугольника иглой или тонким шилом. Острым карандашом соедините по линейке полученные проколы. Аккуратно вырежьте ножом или ножницами трафарет, отступив от карандашной линии примерно на 0.5 см.

3. Выберите материал, из которого вы будете изготавливать модель. Для моделей среднего размера неплохо подходит плотная чертежная бумага. Хорошо также использовать тонкий глянцевый картон. Если же вы делаете большую модель, нужно выбирать более плотный материал, чтобы модель не разрушилась от собственного веса. Если вы делаете цветную модель, надо использовать цветной материал или самостоятельно окрасить его до того, как вы сделаете заготовки.

4. По трафарету изготовьте требуемое число заготовок. Для изготовления заготовки положите трафарет на лист материала, выбранного вами для модели, и сделайте проколы в вершинах многоугольника. Теперь острым предметом — иглой или шилом — нанесите между проколами границы и линии сгибов. Если вы используете достаточно толстый картон, вместо иглы можно воспользоваться очень острым ножом, аккуратно надрезав картон на треть толщины.

5. Вырежьте детали, оставляя поля-наклейки, которыми части будут соединены, размером от 0.3 до 0.5 см. Есть несколько технологий соединения деталей (о них сказано ниже); оставляйте те наклейки, которые требуются при выбранной вами технологии. Срежьте уголки заготовок так, чтобы разрез прошел точно через прокол.

6. Аккуратно согните заготовки по проведенным вами линиям. Если сгиб очень длинный (более 8 см) то, чтобы не помять заготовку, воспользуйтесь линейкой, прижав ей заготовку по линии сгиба.

7. Этот этап можно пропустить, но если вы делаете одноцветную модель, с такой обработкой она значительно выиграет. Отогнув наклейки, аккуратно окрасьте черной тушью ребра будущей модели. Чтобы не испачкать заготовки, окрашивайте ребра по одному, не приступая к следующему, пока не просохло предыдущее. Очень удобно работать «конвейерным» способом, делая одновременно много одинаковых заготовок — вы окрашиваете у каждой заготовки по одному ребру, и, когда вы обработаете последнюю деталь, первая уже полностью высохнет и можно начинать окраску следующего ребра.

8. Если модель имеет очень острые многогранные углы, дополнительно подрежьте уголки наклеек. Это не стоит делать преждевременно, иначе будет тяжело акуратно отогнуть наклейки. Постарайтесь оставлять для склейки как можно больше места. Срезайте ровно столько, чтобы наклейки не мешали граням и друг другу вблизи вершин многогранника.

9. Когда все детали готовы, можно приступать к склейке модели. Существуют четыре способа склейки деталей:

Двойные наклейки. Наклейки сохраняются на каждом ребре каждой детали. Наклейки приклеиваются друг к другу, оставаясь внутри модели; в результате получаются ребра двойной толщины. Эти ребра делают модель очень жесткой и прочной.
Одинарные наклейки. Наклейка оставляется только на одной из деталей и приклеивается к другой. Этот метод плох тем, что склейка получается несимметричной а модель — неаккуратной. Я не рекомендую пользоваться этим методом. Однако при изготовлении некоторых моделей при соединении отдельных частей приходится пользоваться именно этим методом, так как двойную наклейку сделать не удается. Все такие случаи оговорены в тексте особо.
Склейка «встык». Метод требует очень большой аккуратности. При склейке «встык» наклейки вообще не оставляются. Детали соединяются без клея, а затем клей густо наносится на границу между ними. Части необходимо придерживать до высыхания клея. Этим методом стоит пользоваться только при изготовлении относительно простых моделей (там, где части легко придерживать до высыхания) из очень плотного материала. Кроме того, иногда «встык» приходится прикреплять очень мелкие детали — настолько мелкие, что наклейку сделать практически невозможно.
Склейка дополнительным материалом. Наклейки, так же, как и при склейке «встык», не делаются. Части скрепляются полоской тонкой бумаги (например, кальки), смазанной клеем, или скотчем. Таким способом трудно сделать аккуратную модель.
Выбор клея немаловажен. Прежде чем делать модель, проверьте клей на кусочках той же бумаги, с которой вы собираетесь работать. Необходимо, чтобы клей после высыхания не коробил бумагу и не оставлял на ней пятен. Кроме того, клей должен схватываться достаточно быстро (менее минуты, чтобы вам не пришлось придерживать детали в течении нескольких суток), но не мгновенно (чтобы вы могли немного сдвинуть уже соединенные детали для достижения аккуратного результата). Последнее, но очень важное требование — клей не должен быть токсичным. Если вы собираетесь изготовить модель, вы не сможете работать в вытяжном шкафу и вам поневоле придется дышать испарениями высыхающего клея.

Из доступных клеев лучше всего использовать ПВА. Этот клей удовлетворяет всем требованиям. Он бесцветен и не коробит бумагу, схватывается за 10-20 секунд и совершенно нетоксичен (при высыхании выделяет пары воды). Кроме того, ПВА можно разбавлять водой до нужной густоты. Дело в том, что иногда (например, при склеивании крупных деталей) удобнее иметь дело с жидким клеем, который схватывается чуть медленнее, а в других случаях (для мелких или труднодоступных деталей) хочется, чтобы клей схватился быстрее. Можно, конечно, пользоваться несколькими разными клеями, но использование смеси ПВА с водой в нужной пропорции значительно удобнее. Максимальное рекомендуемое разведение — 1:1, чаще же всего используется смесь одной части воды на две части клея.

Процедура склейки достаточно проста. Вы наносите равномерно тонкий слой клея на обе наклейки и соединяете их. Следует чуть-чуть подвигать детали, чтобы клей равномерно распредилился по наклейкам. После того, как части приведены в правильное положение, их следует плотно сжать и дождаться, пока клей не подсохнет. Время от времени надо пользоваться пинцетами или, еще лучше, хирургическими зажимами. Эти инструменты особенно полезны на завершающих стадиях, когда приходится работать внутри модели через небольшое отверстие. Кроме того, при постройке сложных моделей иногда приходится применять широкие плоские зажимы для придерживания наклеек до полного высыхания клея.

Примеры.

Тетраэдр

Тетраэдр принадлежит к семейству платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.Тетраэдр — простейший многогранник, его граняи являются четыре равносторонних треугольника.Несмотря на свою простоту, тетрэдр — полноправный представитель семейства платоновых тел.Все его грани — одинаковые правильные многоугольники, все его многогранные углы равны.

Тетраэдр — пространственный аналог плоского равностороннего треугольника, поскольку он имеет наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства. Модель тетраэдра допускает четырехцветную раскраску, удовлетворяющую принципу раскраски карт. Изготовление модели начните с четырех заготовок. Не забудьте оставить наклейки с каждой стороны. Приклейте три заготовки к сторонам четвертой. Вы получите большой треугольник, состоящий из четырех заготовок. Соедините несклеенные боковые грани и склейте две из них между собой. Затем покройте клеем оставшиеся наклейки и приклейте последнюю грань, как бы закрывая коробку. Некоторое время придерживайте модель за ребра, чтобы внутренние напряжения и клей закончили свое дело.

название тетраэдр
обозначение 3|2 3
граней 4
ребер 6
вершин 4
невыпуклых граней 0
грань

количество 4

Додекаэдр

Додекаэдр — представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три. Этот многогранник замечателен своими тремя звездчатыми формами.

Додекаэдр допускает две интересных раскраски. Первая — раскраска в четыре цвета. Однако при такой раскраске противоположные грани, лежащие в параллельных плоскостях, получают различный цвет. Второй вариант — раскраска в шесть цветов, при которой противоположные грани окрашены одинаково.

Первый вариант раскраски — 4 цвета

Второй вариант раскраски — 6 цветов

Построение модели начинается с приклеивания пяти пятиугольников к одному центральному пятиугольнику. После этого боковые пятиугольники склеиваются междк собой — и половина модели готова. Остается подклеить к ней оставшиеся грани.

название додекаэдр
обозначение 3|2 5
граней 12
ребер 30
вершин 20
невыпуклых граней 0
грань

количество 12

Икосаэдр

Икосаэдр — представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Икосаэдр имеет двадцать треугольных граней, сходящихся в вершинах по пять.

Икосаэдр имеет две эффектные пятицветные окраски. Во-первых, он может быть раскрашен так, чтобы у каждой вершины встречались все пять цветов (но противоположные грани при этом не будут окрашены одинаково). При другом варианте окраски противоположные грани окрашены одинаково, но у всех вершин, кроме двух диаметрально противоположных «полюсов», один из цветов встречается дважды.

Первый вариант раскраски

Второй вариант раскраски

Модель можно начать строить, склеив из пяти треугольников невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам ее основания приклеиваются следующие пять треугольников. Между ними вы приклеиваете по одному треугольнику — в каждой вершине должно сходиться по пять граней. Наконец, завершая модель, приклейте последние пять треугольников.

название икосаэдр
обозначение 5|2 3
граней 20
ребер 30
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань

количество 20

Ромбокубоктаэдр

Ромбокубоктаэдр принадлежит к семейству архимедовых тел, то есть полуправильных выпуклых многогранников. Название многогранника объясняет его происхождение — он получается ромбическим усечением кубоктаэдра. Наиболее естественна окраска этого тела, когда множество квадратных граней разбивается на два разноцветных подмножества — кубического и ромбического происхождения, а треугольники, оставшиеся в наследство от октаэдра, получают третий цвет.

Ромбокубоктаэдр особенно интересен связью с псевдоромбокубоктаэдром — многогранником, также принадлежащим к семейству архимедовых тел, но открытым только в XX веке.
При построении этой модели можно начать со склейки пяти квадратов в своеобразный крест. Затем между четырьмя квадратами креста вклеиваются треугольники, и вы получаете чашу с восьмиугольным верхним краем. К свободным наклейкам приклеиваются восемь квадратов. После этого модель несложно закончить, приклеивая детали по одной. Последним приклеивается любой из треугольников.

название ромбокубоктаэдр
обозначение 3 4|2
граней 26
ребер 48
вершин 24
невыпуклых граней 0
грань

количество 8 18

Ромбоусеченный икосододекаэдр

Ромбоусеченный икосододекаэдр принадлежит к семейству архимедовых тел, то есть полуправильных выпуклых многогранников. Он получается из икосододекаэдра при ином варианте ромбического усечения, нежели ромбоикосододекаэдр. Этот многогранник допускает простую окраску — все десятиугольники, оставшихся от додекаэдра, окрашиваются в один цвет, унаследованные от октаэдра шестиугольники — во второй, квадраты ромбического происхождения — в третий.
Для построения модели окружите десятиугольник попеременно квадратами и шестиугольниками. Присоединяйте последующие десятиугольники, окружая их кольцами граней двух других типов. В результате каждые два десятиугольника будут отделены таким кольцом.

название ромбоусеченный икосододекаэдр
обозначение 2 3 5|
граней 62
ребер 180
вершин 120
невыпуклых граней 0
грань

количество 30 20 12

Большой додекаэдр

Большой додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого додекаэдра — пересекающиеся пятиугольники. Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

Модель большого додекаэдра допускает шестицветную раскраску, при которой параллельные грани получают одинаковый цвет. Эта раскраска удовлетворяет принципу раскраски карт.
Для изготовления модели соедините заготовки между собой, чтобы получить 20 треугольных пирамид наклейками наружу. Затем склейте пирамиды способом, напоминающим способ склейки икосаэдра.
название большой додекаэдр
обозначение 5/2 2|5
граней 12
ребер 30
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань

количество 12

Октагемиоктаэдр

Этот многогранник представляет собой ограненный кубоктаэдр. Иногда его называют также октатетраэдром. Четыре экваториальные шестиугольные грани многогранника имеют общие ребра с восемью треугольными гранями.

Другой ограненной формой кубоктаэдра является кубогемиоктаэдр.

Модель допускает окраску в пять цветов, при которой четыре экваториальные шестиугольные грани окрашиваются в четыре различных цвета, а все внешние треугольные грани получают пятый цвет. Эта раскраска удовлетворяет принципу раскраски карт.
Так же, как и при изготовлении модели тетрагемигексаэдра, есть два способа изготовления этой модели.

При использовании первого метода изготовьте восемь тетраэдров, оставив на части их ребер пазы, а на части — язычки. Самостоятельно определите, какие наклейки следует отогнуть, а какие оставить внутри. Соедините заготовки, вставляя язычки в соответствующие пазы.

При втором методе вы изготавливаете шесть чаш — бездонных пирамид с квадратными основаниями — и соединяете их наклейками двойной толщины. В последнюю очередь подклеиваются внешние треугольные грани.
название октагемиоктаэдр
обозначение 3/2 3|3
граней 12
ребер 24
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань

количество 8 4

Малый битригональный икосододекаэдр

Этот многогранник состоит из 12 пентаграмм на гранях додекаэдра и 20 треугольников на гранях икосаэдра. Легко заметить, что у каждой вершины грани встречаются тройками в чередующемся порядке, поэтому многогранник и называется битригональным икосододекаэдром.

Пентаграммы могут быть окрашены в шесть цветов так, что противоположные звезды будут одноцветными. Для сохранения основного принципа раскраски карт при выборе красок для треугольных граней необходимо обратиться к второй схеме раскраски икосаэдра.

Чертеж и описание изготовления модели этого многогранника пока отсутствуют.

название малый битригональный икосододекаэдр
обозначение 3|5/2 3
граней 32
ребер 60
вершин 20
невыпуклых граней 12
грань 3 5/2
количество 20 12

Для изготовления объемных геометрических фигур главное иметь шаблоны, которые можно вырезать, а затем склеить.

Можно сделать из белой или из цветной бумаги. Можно вырезать из бумаги с каким-либо рисунками или же цифрами.

Предлагаю сделать не совсем обычную объемную фигуру в технике оригами. Смотрим видео:

Чтобы дети лучше запомнили, какие бывают геометрические фигуры, и знали, как они называются, можно из плотной бумаги или картона сделать объемные геометрические фигуры . Кстати, на основе их можно изготовить красивую подарочную упаковку.

Понадобятся:

• плотная бумага, либо картон (лучше цветные);
• линейка;
• карандаш;
• ножницы;
• клей (лучше ПВА).

Самое сложное - это разработать и начертить развртки, нужны хотя бы базовые знания черчения. Можно взять и готовые развртки и распечатать на принтере.

Чтобы линия сгиба была ровной и острой, можно воспользоваться тупой иглой и металлической линейкой. При проведении линии иголку нужно сильно нагнуть в направлении движения, практически положив е набок.

Это развертка трехгранной пирамиды

Это развертка куба



Это развертка октаэдра (четырехгранной пирамиды)



Это развертка додекаэдра



Это развертка икосаэдра



Вот здесь можно найти шаблоны более сложных фигур (Платоновы Тела, Архимедовы тела, многогранники, полиэдры, разные виды пирамид и призм, простые и косые бумажные модели).

Объемные геометрические фигуры являются лучшим способом изучение малышом окружающего мира. Отличный учебный материал/отличное учебное пособие для в изучении геометрических фигур - это, как раз, объемные фигуры. Таким способом лучше запоминаются геометрические фигуры.

Лучши материал для изготовления подобных объемных фигур - это плотная бумага (можно цветную) или же картон.

Для изготовления понадобятся кроме бумаги еще и карандаш с линейкой, а также ножницы и клей (вырезать и клеить развертки).

Нужно начертить подобным образом развертки и вырезать их:







После чего их нужно склеивать край к краю.

Должны получится следующего вида объемные геометрические фигуры:













Вот несколько схем, по которым можно изготовить объмные геометрические фигуры.

Самая простая - тетраэдр .



Чуть сложнее будет изготовить октаэдр .



А вот эта объмная фигура - додекаэдр .



Ещ одна - икосаэдр .



Более подробно об изготовлении объмных фигур можно посмотреть здесь.

Вот так выглядят объмные фигуры не в собранном виде:



А вот так выглядят уже готовые:



Из объмных геометрических фигур можно сделать много оригинальных поделок, в том числе и упаковки для подарка.



Прежде чем начать делать объемные геометрические фигуры, нужно представить (или знать как выглядит) фигуру в 3D измерении: сколько граней имеет та или иная фигура.

Сначала необходимо правильно начертить на бумаге фигуру по граням, которые должны быть соединены между собой. У каждой фигуры грани имеют определенную форму: квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, шестиугольник, круг и т.д.

Очень важно, чтобы длина ребер фигуры, которые будут соединены друг с другом имели одинаковую длину, чтобы во время соединения не возникло проблем. Если фигура состоит из одинаковых граней, я бы предложила сделать шаблон во время черчения использовать этот шаблон. Так же можно скачать из интернета готовые шаблоны, распечатать их, согнуть по линиям и соединить (склеить).

Шаблон конуса:



Шаблон пирамиды:



Изготовление объемных геометрических фигур вам понадобится как на школьных занятиях, так и для изучения фигур с малышами. Этот процесс можно превратить в игру, делая из картона плотные объемные геометрические фигуры.

Для изготовления фигур нам понадобится - карандаш, линейка, цветной картон, клей.



Можно распечатать схемы из интернета, потом нанести их на плотную бумагу, не забывая про линии сгиба, которые будут склеиваться между собой.

А воспользоваться можно следующими схемами:













А вот они уже в готовом виде.



Так вы весело и с пользой сможете провести с малышом время, изучая геометрические фигуры.

Самостоятельно смастерив из бумаги объмные фигуры можно не только использовать их для развлечения, но и для обучения.

К примеру, можно наглядно показать ребнку как выглядит та или иная фигура, дать е подержать в руках.

Либо можно с целью обучения распечатать схемы со специальными обозначениями.

Так предлагаю ниже ознакомиться со семой додекаэдра , как простой, так и с небольшими рисунками, которые только привлекут внимание малыша и обучение сделают более веслым и занимательным.





Также схему куба можно использовать для обучения цифрам.







Схема пирамиды может помочь усвоить формулы, которые относятся к данной фигуре.





Кроме того, предлагаю ознакомиться со схемой октаэдра .







Схема тетраэдра помимо прочего поможет изучить цвета.

















Как вы поняли, вышеприведнные шаблоны необходимо распечатать, вырезать, согнуть по линиям, склеить по специальным узким полосочкам, прилегающим к избранным сторонам.

Объемные геометрические фигуры просто необходимы при обучении: они предоставляют ученикам возможность держать их в руках, рассматривать, что является важной частью учебного процесса, они просто необходимы в качестве пособия при изучении знаменитой теоремы Эйлера - наглядно демонстрируя, что даже при деформациях, искривлениях число граней многогранника, а значит и соотношение Эйлера, останется неизменным:

Кроме того, объемные фигуры могут служить отличным пособием, помогающим объяснить ученикам, как найти площадь поверхности многогранника.

Итак, с помощью приведенных ниже шаблонов Вы можете легко сделать следующие фигуры:

Треугольная Призма



N-угольная призма



Тетраэдр



Икосаэдр



И еще несколько редких объемных геометрических фигур можно найти по этой ссылке.